こんにちは
一部訂正です。
AttachBrowserは基本的にhtmlでのトップセレクターを指定するものなので
<html app='msedge.exe' .. />に相当するものを指定するものになります。
そのため、当該クリックではフルセレクター（この場合<wnd app='msedge' .... />を含めて）を指定しておけば、特段問題ないと思われます。
少し気になるのは、cls='Chrome_WidgetWin_1' の部分と idx='*' の部分ですね。
取り急ぎ、cls='Chrome_WidgetWin_*' を試してみる手はあるかもしれません。